Reed-Solomon码首先是由Reed和Solomon两人于1960年提出来的，简称为RS码。这是一类具有很强纠错能力的多进制BCH码，既能纠正随机错误，也能纠正突发错误，也是一类典型的代数几何码。RS码一直以来都是国际通信领域研究的热点之一。

本文以战术军用通信系统的首选码RS(31，15)码为例，对生成多项式进行了优化，并采用查表法的原理极大地提高了编码器运算数据的能力，缩短了运算周期，最终利用VHDL语言编译，在FPGA中实现，得到了正确的RS编译码。

1 RS编码原理

能纠正t个错误的RS(n，k)码具有如下特性：

码长：n=2m-1符号或m(2m-1)比特；信息码元数：k=n-2t符号或mk比特；监督码元数：n-k=2t符号或m(n-k)比特；最小距离：d=2t+1=n-k-1符号或m(n-k+1)比特；最小距离为d的本原RS码的生成多项式一般为：

令信息元多项式为：

监督多项式为：

则码多项式为：

式中：Q(x)是g(x)整除C(x)所得的商式。所有这些原理都与二进制循环码一样，不同的仅在于运算方法。对于二进制码，码多项式各项系数只能取0或1，多项式的加减乘除是模二运算，是定义在GF(2)域上的多项式。现在码多项式各项系数可以取q=2m种不同的值，应当是定义在GF(2m)域上的多项式。

2 生成多项式的优化

以RS(31，15)为例，n=31，k=15，可纠正错误数为t=(n-k)／2=8；以为本原多项式，可得到GF(25)上的元素如表1所示。

一般的生成多项式为：

则码字多项式以为零点。

由于注意到：